12116. Найдите наименьшее значение функции
f(x)=\sqrt{x^{2}-6x+10}+\sqrt{x^{2}-4x+8}.
Ответ. \sqrt{10}
.
Решение. Выделив полные квадраты, получим
f(x)=\sqrt{x^{2}-6x+10}+\sqrt{x^{2}-4x+8}=\sqrt{(x-3)^{2}+1}+\sqrt{(x-2)^{2}+4}.
Рассмотрим векторы \overrightarrow{a}=(3-x;1)
и \overrightarrow{b}=(x-2;2)
. Тогда
\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=((3-x)+(x-2);1+2)=(1;3),
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{(x-3)^{2}+1},~|\overrightarrow{b}|=\sqrt{(x-2)^{2}+4},~|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}.
По неравенству треугольника
|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|\leqslant|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|,~\mbox{или}~|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow{b}|\geqslant\sqrt{10},
причём равенство достигается только в случае, когда \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
сонаправлены. Тогда их координаты пропорциональны.
Заметим, что при x=2
векторы \overrightarrow{a}
и \overrightarrow{b}
неколлинеарны, поэтому x\ne2
. Из уравнения \frac{3-x}{x-2}=\frac{1}{2}
находим, что x=\frac{8}{3}
. Следовательно, наименьшее значение данной функции равно \sqrt{10}
и достигается при x=\frac{8}{3}
.