12118. Пусть ABC
— остроугольный треугольник, в котором AB\ne AC
. Окружность с диаметром BC
пересекает стороны AB
и AC
в точках M
и N
соответственно. Обозначим через O
середину стороны BC
. Биссектрисы углов BAC
и MON
пересекаются в точке R
. Докажите, что окружности, описанные около треугольников BMR
и CNR
, имеют общую точку, лежащую на стороне BC
.
Решение. Треугольник MON
равнобедренный, так как OM=ON
как радиусы одной окружности. Пусть OK
— его биссектриса. Тогда прямая OK
серединный перпендикуляр к отрезку MN
.
Опишем окружность около треугольника MAN
. Известно, что биссектриса угла MAN
и серединный перпендикуляр к стороне MN
треугольника MAN
пересекаются на описанной окружности этого треугольника (см. задачу 1743), следовательно, эта точка пересечения и есть точка R
, о которой говорится в условии задачи.
Пусть луч AR
пересекает сторону BC
в точке L
. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ACB=\gamma
. Тогда
\angle BMR=\angle BMN-\angle NMR=\angle BMN-\angle NAR=180^{\circ}-\gamma-\frac{\alpha}{2},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BLR=\angle BLA=\angle CAL+\angle ACL=\gamma+\frac{\alpha}{2},
поэтому
\angle BMR+\angle BLR=\left(180^{\circ}-\gamma-\frac{\alpha}{2}\right)+\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник BMRL
вписанный, т. е. окружность, описанная около треугольника BMR
, проходит через точку L
, лежащую на стороне BC
. Аналогично, окружность, описанная около треугольника CNR
, тоже проходит через точку L
. Что и требовалось доказать.