1212. На сторонах AB
, BC
, CD
и DA
четырёхугольника ABCD
отмечены соответственно точки M
, N
, P
и Q
так, что AM=CP
, BN=DQ
, BM=DP
, NC=QA
. Докажите, что ABCD
и MNPQ
— параллелограммы.
Указание. Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, — параллелограмм.
Решение. Из условия задачи следует, что AB=DC
и AD=BC
. Поэтому ABCD
— параллелограмм. Тогда \angle A=\angle C
и \angle D=\angle B
.
Из равенства треугольников MAQ
и PCN
(по двум сторонам и углу между ними) следует, что MQ=PN
. Аналогично MN=PQ
. Следовательно, MNPQ
— параллелограмм.