12124. Рассматриваются прямые, проходящие через вершину B
треугольника ABC
, пересекающие сторону AC
в точке K
, а описанную окружность треугольника ABC
— в точке M
, отличной от B
. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников AMK
.
Ответ. Отрезок.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности треугольника AMK
. Обозначим \angle ACB=\gamma
. Предположим, что \gamma\leqslant90^{\circ}
(рис. 1). Поскольку
\angle AMK=\angle AMB=\angle ACB=\gamma,
а AOK
— центральный угол описанной окружности треугольника AMK
, соответствующий вписанному углу AMK
, то \angle AOK=2\gamma
, а \angle OAC=90^{\circ}-\gamma
, т. е. угол OAC
не зависит от прямой, проходящей через вершину B
. Следовательно, всевозможные точки O
лежат на фиксированной прямой AD
, где ADC
— равнобедренный треугольник с основанием AC
и углом 90^{\circ}-\gamma
, причём точки B
и D
лежат по разные стороны от прямой AC
.
Прямые OK
и CD
параллельны, поэтому при движении точки K
от A
к C
точки O
заполняют отрезок AD
. Следовательно, этот отрезок и есть искомое ГМТ.
В случае \gamma\gt90^{\circ}
(рис. 2) аналогичные рассуждения дают искомое ГМТ как боковую сторону AD
равнобедренного треугольника ACD
с основанием AC
и углом \angle CAD=\gamma-90^{\circ}
, причём точки B
и D
лежат по одну сторону от прямой AC
.
Автор: Блинков Ю. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 6, с. 12, М2201; 2011, № 3, с. 25, M2201
Источник: Задачник «Кванта». — 2010, № 6, М2201