12127. Имеется многоугольник. Для каждой стороны поделим её длину на сумму длин всех остальных сторон. Затем сложим все получившиеся дроби. Докажите, что полученная сумма будет всегда меньше 2.
Решение. Каждая сторона меньше суммы остальных, поэтому сумма остальных больше полупериметра. Значит, заменив каждый знаменатель на полупериметр, мы увеличим сумму дробей. Но теперь эта сумма стала равна 2.
Автор: Гальперин Г. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2011, № 1, с. 20, М2208; 2011, № 4, с. 23, M2208
Источник: Задачник «Кванта». — 2011, № 1, М2208