12148. Дана равнобокая трапеция ABCD
(AD\parallel BC
, AD\gt BC
). Окружность \Omega
вписана в угол BAD
, касается отрезка BC
в точке C
и повторно пересекает сторону CD
в точке E
, так что CE=9
, ED=16
. Найдите радиус окружности \Omega
и площадь трапеции ABCD
.
Ответ. r=\frac{15}{2}
, S=\frac{675}{2}
.
Решение. Обозначим точки касания окружности со сторонами AB
и AD
трапеции через K
и W
соответственно. По теореме о касательной и секущей
DW^{2}=DE\cdot DC=16\cdot25,~DW=20.
Поскольку C
и W
— точки касания окружности с параллельными прямыми BC
и AD
, отрезок CW
— диаметр окружности, перпендикулярный этим прямым. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CWD
находим, что
CW=\sqrt{CD^{2}-DW^{2}}=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=15.
Следовательно, радиус окружности равен \frac{1}{2}CW=\frac{15}{2}
.
Пусть BK=BC=x
. Поскольку трапеция равнобедренная,
AK=AB-BK=25-x,~AW=AK=25-x.
Отсюда получаем, что сумма оснований есть
BC+AD=x+(25-x)+20=45.
Следовательно, площадь трапеции равна
\frac{BC+AD}{2}\cdot CW=\frac{45}{2}\cdot15=\frac{675}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2019, 9 класс, билет 1, задача 5