12158. В треугольник ABC
вписаны два равных прямоугольника PQRS
и P_{1}Q_{1}R_{1}S_{1}
(при этом точки P
и P_{1}
лежат на стороне AB
, точки Q
и Q_{1}
лежат на стороне BC
, а точки R
, S
, R_{1}
и S_{1}
— на стороне AC
). Известно, что PS=12
, P_{1}S_{1}=3
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{225}{2}
.
Решение. Проведём высоту BF
треугольника ABC
. Пусть она пересекает отрезки PQ
и P_{1}Q_{1}
в точках H
и M
соответственно. Заметим, что
MH=PS-P_{1}S_{1}=12-3=9.
Из подобия треугольников PBQ
и P_{1}BQ_{1}
следует, что \frac{BH}{PQ}=\frac{BM}{P_{1}Q_{1}}
, или \frac{BH}{3}=\frac{9+BH}{12}
, откуда BH=3
. Значит,
S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot3\cdot3=\frac{9}{2}.
Треугольник ABC
подобен треугольнику PBQ
с коэффициентом
k=\frac{BF}{BH}=\frac{12+3}{3}=5.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=k^{2}S_{\triangle PBQ}=25\cdot\frac{9}{2}=\frac{225}{2}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 7-8 классы, билет 15, задача 3