12159. В треугольник ABC
вписаны два равных прямоугольника PQRS
и P_{1}Q_{1}R_{1}S_{1}
(при этом точки P
и P_{1}
лежат на стороне AB
, точки Q
и Q_{1}
лежат на стороне BC
, а точки R
, S
, R_{1}
и S_{1}
— на стороне AC
). Известно, что PS=3
, P_{1}S_{1}=9
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 72
.
Решение. Проведём высоту BF
треугольника ABC
. Пусть она пересекает отрезки P_{1}Q_{1}
и PQ
в точках H
и M
соответственно. Заметим, что
MH=P_{1}S_{1}-PS=9-3=6.
Из подобия треугольников P_{1}BQ_{1}
и PBQ
следует, что \frac{BH}{P_{1}Q_{1}}=\frac{BM}{PQ}
, или \frac{BH}{3}=\frac{6+BH}{9}
, откуда BH=3
. Значит,
S_{\triangle P_{1}BQ_{1}}=\frac{1}{2}P_{1}Q_{1}\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot3\cdot3=\frac{9}{2}.
Треугольник ABC
подобен треугольнику P_{1}BQ_{1}
с коэффициентом
k=\frac{BF}{BH}=\frac{9+3}{3}=4.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=k^{2}S_{\triangle P_{1}BQ_{1}}=16\cdot\frac{9}{2}=72.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 7-8 классы, билет 16, задача 3