1216. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит прямой угол на две части в отношении 1:3
. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю.
Ответ. 45^{\circ}
.
Указание. Если M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
прямоугольника ABCD
, то треугольник AMD
— равнобедренный.
Решение. Пусть AK
— перпендикуляр, опущенный из вершины A
прямоугольника ABCD
на диагональ DB
, причём \angle BAK=3\angle DAK
; M
— точка пересечения диагоналей. Тогда
\angle DAK=\frac{90^{\circ}}{4}=\frac{45^{\circ}}{2},~\angle ADM=90^{\circ}-\frac{45^{\circ}}{2}=\frac{135^{\circ}}{2}.
Поскольку треугольник AMD
— равнобедренный, то
\angle DAM=\angle ADM=\frac{135^{\circ}}{2}.
Поэтому
\angle KAM=\angle DAM-\angle DAK=\frac{135^{\circ}}{2}-\frac{45^{\circ}}{2}=45^{\circ}.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 26, с. 21