12162. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке P
, а лучи BC
и AD
пересекаются в точке Q
. Известно, что треугольники ADP
и QAB
подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке), а четырёхугольник ABCD
можно вписать в окружность радиуса 7.
а) Найдите AC
.
б) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники ABC
и ACD
касаются отрезка AC
в точках K
и T
соответственно, причём CK:KT:TA=6:1:7
(точка T
лежит между K
и A
). Найдите \angle DAC
и площадь четырёхугольника ABCD
.
Ответ. а) AC=14
; б) \angle DAC=45^{\circ}
, S_{ABCD}=97
.
Решение. а) Подобие треугольников эквивалентно тому, что углы одного треугольника соответственно равны углам другого. Угол при вершине A
у треугольников общий, поэтому есть два варианта: либо
\angle ABQ=\angle ADP,~\angle AQB=\angle APD,
либо
\angle ABQ=\angle APD,~\angle AQB=\angle ADP.
Второй случай невозможен, так как ADP
— внешний угол треугольника CDQ
, поэтому он равен сумме \angle DCQ+\angle DQC
, т. е. \angle ADP\gt\angle AQB
. Тогда остаётся первый случай, и \angle ABC=\angle ADC
. Но четырёхугольник ABCD
вписан в окружность, а значит,
\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ},
откуда
\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}.
Следовательно, AC
— диаметр окружности, AC=14
.
б) Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается его сторон AB
и BC
соответственно в точках M
и N
, а окружность, вписанная в треугольник ACD
, касается его сторон AD
и CD
соответственно в точках L
и G
. Заметим, что при дополнительном условии AT=CT
. Тогда
AL=AT=CT=CG,
а так как DG=DL
, то прямоугольный треугольник ACD
равнобедренный, AD=CD
. При этом DT
— его высота. Значит,
\angle DAC=45^{\circ},~S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}AC\cdot DT=49.
Поскольку AC=14
и CK:KT:TA=6:1:7
, то в треугольнике ABC
известно, что
CN=CK=6,~AM=AK=8.
Обозначим BN=BM=x
. По теореме Пифагора для треугольника ABC
получаем
196=(x+8)^{2}+(x+6)^{2},~x^{2}+14x-48=0,~x=\sqrt{97}-7.
Тогда
AB=x+8=\sqrt{97}+1,~BC=x+6=\sqrt{97}-1.
Значит,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(\sqrt{97}+1)(\sqrt{97}-1)=48,
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ABC}=49+48=97.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2017, 10 класс, билет 13, задача 6