12165. В треугольнике ABC
сторона AB
равна \sqrt{11}
, а угол при вершине A
в два раза больше угла при вершине C
. Через вершину B
проведена касательная l
к окружности \Omega
, описанной около треугольника ABC
. Расстояния от точек A
и C
до этой касательной относятся как 9:25
.
а) Найдите отношение расстояний от точки A
до прямых l
и BC
.
б) Найдите расстояние от точки C
до прямой l
и радиус окружности \Omega
.
Ответ. а) 9:16
; б) \frac{275}{54}
, R=3
.
Решение. Пусть A_{1}
и C_{1}
— проекции точек соответственно A
и C
на прямую l
, \angle ACB=\gamma
, \angle BAC=2\gamma
, радиус окружности \Omega
равен R
. Положим AA_{1}=9t
, CC_{1}=25t
. По теореме синусов
AB=2R\sin\gamma,~BC=2R\sin2\gamma.
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что
\angle ABA_{1}=\angle ACB=\gamma,~\angle CBC_{1}=\angle BAC=2\gamma.
Заметим, что \gamma\lt90^{\circ}
(иначе сумма углов треугольника ABC
больше 180^{\circ}
). Тогда
9t=AA_{1}=AB\sin\gamma=2R\sin^{2}\gamma,~
25=CC_{1}=BC\sin2\gamma=2R\sin^{2}2\gamma=8R\sin^{2}\gamma\cos^{2}\gamma,
откуда
\frac{2R\sin^{2}\gamma}{8R\sin^{2}\gamma\cos^{2}\gamma}=\frac{9}{25},~\mbox{или}~\cos^{2}\gamma=\frac{25}{36}.
Значит,
\sin^{2}\gamma=\frac{11}{36},~\sin\gamma=\frac{\sqrt{11}}{6},
R=\frac{AB}{2\sin\gamma}=\frac{\sqrt{11}}{\frac{\sqrt{11}}{3}}=3,~AA_{1}=AB\sin\gamma=2R\sin^{2}\gamma=6\cdot\frac{11}{36}=\frac{11}{6}=9t,
t=\frac{11}{54},~CC_{1}=25t=\frac{275}{54}.
Пусть H
— проекция вершины A
на прямую BC
. Тогда расстояние от точки A
до прямой BC
равно длине отрезка AH
. Из прямоугольного треугольника ABH
находим, что
AH=AB\sin\angle ABC=2R\sin\gamma\sin(180^{\circ}-3\gamma)=\sqrt{11}(3\sin\gamma-4\sin^{3}\gamma)=
=\sqrt{11}\left(3\cdot\frac{\sqrt{11}}{6}-4\cdot\frac{11\sqrt{11}}{216}\right)=\frac{11}{2}-\frac{121}{54}=\frac{88}{27},
\frac{AA_{1}}{AH}=\frac{\frac{11}{6}}{\frac{88}{27}}=\frac{9}{16}.