12170. Точка K
лежит на стороне AB
треугольника ABC
с углом 120^{\circ}
при вершине C
. В треугольники AKC
и BKC
вписаны окружности с центрами O
и Q
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OQC
, если OK=6
, KQ=7
.
Ответ. \sqrt{\frac{85}{3}}
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому лучи KO
и KQ
— биссектрисы углов AKC
и BKC
соответственно. Поскольку угол между биссектрисами смежных углов прямой, \angle OKQ=90^{\circ}
, и тогда по теореме Пифагора находим, что
OQ=\sqrt{OK^{2}+KQ^{2}}=\sqrt{36+49}=\sqrt{85}.
Лучи CO
и CQ
— биссектрисы углов ACK
и BCK
, поэтому
\angle OCQ=\angle OCK+\angle QCK=\frac{1}{2}\angle ACK+\frac{1}{2}\angle BCK=\frac{1}{2}\angle BCA=60^{\circ}.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника OQC
. По теореме синусов находим, что
R=\frac{OQ}{2\sin\angle OCQ}=\frac{\sqrt{85}}{2\sin60^{\circ}}=\sqrt{\frac{85}{3}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 9 класс, билет 1, задача 6