12171. Точка P
лежит на стороне BC
треугольника ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине A
. В треугольники APB
и APC
вписаны окружности с центрами D
и T
соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ADT
, если PD=7
, PT=4
.
Ответ. \sqrt{65}
.
Решение. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому лучи PD
и PT
— биссектрисы углов APB
и APC
. Поскольку угол между биссектрисами смежных углов прямой, \angle DPT=90^{\circ}
, и тогда по теореме Пифагора находим, что
DT=\sqrt{PD^{2}+PT^{2}}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}.
Лучи AD
и AT
— биссектрисы углов BAP
и CAP
, поэтому
\angle DAT=\angle DAP+\angle TAP=\frac{1}{2}\angle BAP+\frac{1}{2}\angle CAP=\frac{1}{2}\angle BAC=30^{\circ}.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ADT
. По теореме синусов находим, что
R=\frac{DT}{2\sin\angle DAT}=\frac{\sqrt{65}}{2\sin30^{\circ}}=\sqrt{65}.