12179. Вокруг равнобедренного остроугольного треугольника FKT
с основанием KT
описана окружность \Omega
. Точка M
— середина дуги FT
, не содержащей точки K
. Известно, что расстояния от точки M
до прямых KT
и FT
, равны соответственно \frac{9}{5}
и 1. Найдите радиус окружности \Omega
и площадь треугольника FKT
.
Ответ. R=\frac{5}{3}
, S=\frac{56\sqrt{21}}{75}=\frac{56\sqrt{7}}{25\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, G
— точка пересечения отрезков OM
и FT
(тогда G
— середина FT
и при этом OG\perp FT
); FH
— высота треугольника (точка O
лежит на отрезке FH
, так как треугольник FKT
остроугольный ), MQ
— перпендикуляр, опущенный из точки M
на прямую KT
, OJ
— перпендикуляр, опущенный из точки O
на прямую MQ
. Обозначим \angle TFH=\gamma
. Тогда
OG=OF\sin\gamma=R\sin\gamma,~GM=OM-OG=R-R\sin\gamma=R(1-\sin\gamma),
JM=OM\sin\gamma=R\sin\gamma.
Треугольник OFT
равнобедренный (OF=OT=R
), поэтому \angle OTF=\angle OFT=\gamma
, и по теореме о внешнем угле треугольника \angle TOH=2\gamma
. Значит,
OH=OT\cos2\gamma=R\cos2\gamma,~JQ=OH=R\cos2\gamma
(JQHO
— прямоугольник). Тогда
MQ=MJ+JQ=R(\sin\gamma+\cos2\gamma)=R(1+\sin\gamma-2\sin^{2}\gamma)=
=R(1-\sin\gamma)(1+2\sin\gamma).
По условию
R(1-\sin\gamma)=1,~R(1-\sin\gamma)(1+2\sin\gamma)=\frac{9}{5}.
Разделив второе уравнение на первое, получаем
1+2\sin\gamma=\frac{9}{5},~\sin\gamma=\frac{2}{5},~\cos\gamma=\frac{\sqrt{21}}{5}.
Следовательно,
R=\frac{1}{1-\sin\gamma}=\frac{1}{1-\frac{2}{5}}=\frac{5}{3},
S_{\triangle FKT}=FH\cdot HT=(OF+OH)\cdot OT\sin2\gamma=(R+R\cos2\gamma)\cdot R\sin2\gamma=
=4R^{2}\cos^{2}\gamma\cdot\sin\gamma\cos\gamma=4R^{2}\sin\gamma\cos^{3}\gamma=4\cdot\frac{25}{9}\cdot\frac{2}{5}\cdot\frac{21\sqrt{21}}{125}=\frac{56\sqrt{21}}{75}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 10 класс, билет 6, задача 6