1218. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник так, что две его вершины находятся на гипотенузе, а две другие — на катетах. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что они относятся как 5:2
, а гипотенуза треугольника равна 45.
Ответ. 25 и 10; 18,75 и 7,5.
Указание. Сумма трёх сторон прямоугольника равна гипотенузе треугольника.
Решение. Предположим, что большая сторона MN
прямоугольника MNKL
находится на гипотенузе AB
треугольника ABC
, вершина K
— на BC
, вершина L
— на AC
. Пусть
AM=ML=NK=NB=2x.
Тогда MN=KL=5x
. Поскольку AM+MN+NB=45
, то из уравнения 2x+5x+2x=45
находим, что x=5
. Следовательно,
LM=KN=2x=10,~KL=MN=5x=25.
Аналогично для случая, когда MN
— меньшая сторона.