12182. Точки A
, B
, C
, D
, E
последовательно расположены на прямой, причём AB=BC=2
, CD=1
, DE=3
. Окружности \Omega
и \omega
, касающиеся друг друга, таковы, что \Omega
проходит через точки A
и E
, а \omega
проходит через точки B
и C
. Найдите радиусы окружностей \Omega
и \omega
, если известно, что их центры и точка D
лежат на одной прямой.
Ответ. R=8\sqrt{\frac{3}{11}}
, r=5\sqrt{\frac{3}{11}}
.
Решение. Обозначим центры окружностей \Omega
и \omega
радиусов соответственно R
и r
через O
и Q
соответственно. Поскольку C
— середина хорды AE
окружности \Omega
, отрезок OC
перпендикулярен AE
. Опустим из точки Q
перпендикуляр QH
на прямую AE
. Тогда BH=HC=1
(диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам). Пусть OC=x
. Тогда QH=2x
(так как OC
— средняя линия треугольника DHQ
),
r=QB=\sqrt{QH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{4x^{2}+1},~R=OA=\sqrt{OC^{2}+AC^{2}}=\sqrt{x^{2}+16}.
Выразим двумя способами отрезок OQ
. С одной стороны, так как окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности радиусов, т. е. OQ=R-r
. С другой стороны, из прямоугольной трапеции CHQO
получаем, что
OQ=\sqrt{CH^{2}+(QH-OC)^{2}}=\sqrt{1+(2x-x)^{2}}=\sqrt{1+x^{2}}.
Значит,
\sqrt{x^{2}+16}-\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{1+x^{2}}~\Leftrightarrow~\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+16}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\sqrt{4x^{4}+5x^{2}+1}=7-2x^{2}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}=\frac{16}{11}\\7-2x^{2}\geqslant0\\}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{16}{11}.
Следовательно,
R=\sqrt{x^{2}+16}=\sqrt{\frac{16}{11}+16}=8\sqrt{\frac{3}{11}},~r=\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{\frac{64}{11}+1}=5\sqrt{\frac{3}{11}}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2016, 11 класс, билет 9, задача 4