12183. Точки A
, B
, C
, D
, E
последовательно расположены на прямой, причём AB=BC=DE=2
, CD=1
. Окружности \Omega
и \omega
, касающиеся друг друга, таковы, что \Omega
проходит через точки D
и E
, а \omega
проходит через точки B
и C
. Найдите радиусы окружностей \Omega
и \omega
, если известно, что их центры и точка A
лежат на одной прямой.
Ответ. R=\frac{8}{\sqrt{19}}
, r=\frac{11}{2\sqrt{19}}
.
Решение. Обозначим центры окружностей \Omega
и \omega
радиусов соответственно R
и r
через O
и Q
соответственно. Опустим из точек O
и Q
перпендикуляры OH
и QT
на прямую AB
. Тогда точки H
и T
—середины хорд DE
и BC
соответственно (диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам). Значит, AT=3
, AH=6
.
Пусть QT=x
. Тогда QH=2x
(так как QT
— средняя линия треугольника AOH
),
r=QB=\sqrt{QT^{2}+BT^{2}}=\sqrt{x^{2}+1},~R=OD=\sqrt{OH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{4x^{2}+1}.
Выразим двумя способами отрезок OQ
. С одной стороны, так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов, т. е. OQ=R+r
. С другой стороны, из прямоугольной трапеции HTQO
получаем, что
OQ=\sqrt{TH^{2}+(OH-QT)^{2}}=\sqrt{9+x^{2}}.
Значит,
\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}+9}~\Leftrightarrow~5x^{2}+2+2\sqrt{4x^{4}+5x^{2}+1}=x^{2}+9\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~2\sqrt{4x^{4}+5x^{2}+1}=7-4x^{2}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}=\frac{45}{76}\\7-4x^{2}\geqslant0\\}~\Leftrightarrow~x^{2}=\frac{16}{11}.
Следовательно,
r=\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{\frac{45}{76}+1}=\frac{11}{2\sqrt{19}},~R=\sqrt{4x^{2}+1}=\sqrt{4\cdot\frac{45}{76}+1}=\frac{8}{\sqrt{19}}.