12206. Дана прямоугольная трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
, причём BC\lt AD
, \angle BCD=90^{\circ}
. Точка M
— середина отрезка CD
. Известно, что окружность радиуса 5 проходит через точки A
и B
и касается стороны CD
в точке M
, а \cos\angle BMC=\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Найдите AB
и BC
, а также площадь трапеции.
Ответ. AB=10
, BC=\frac{10}{9}
, S=\frac{200\sqrt{2}}{9}
.
Решение. Окружность радиуса R=5
касается прямой CD
, поэтому её центр O
лежит на перпендикуляре к CD
, восставленном в точке M
. С другой стороны, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
. Эти две прямые пересекаются в середине AB
. Значит, O
— середина AB
, и AB
— диаметр окружности. Следовательно, AB=2R=10
.
Обозначим \angle BMC=\varphi
(\cos\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\sin\varphi=\frac{1}{3},~\ctg\varphi=2\sqrt{2}).
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,что \angle BAM=\varphi
. Точка M
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle BMA=90^{\circ}
. Тогда
\angle DAM=90^{\circ}-\angle DMA=90^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BMA-\angle BMC)=
=90^{\circ}-(180^{\circ}-90^{\circ}-\varphi)=\varphi.
Значит, прямоугольные треугольники AMB
, ADM
и MCB
подобны.
Из прямоугольных треугольников AMB
и MCB
находим, что
BM=AB\sin\varphi=10\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{3},~BC=BM\sin\varphi=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{10}{9}.
Тогда
DM=CM=BM\cos\varphi=\frac{10}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{20\sqrt{2}}{9},
и из прямоугольного треугольника ADM
находим, что
AD=MD\ctg\varphi=\frac{20\sqrt{2}}{9}\cdot2\sqrt{2}=\frac{80}{9}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot CD=\frac{\frac{10}{9}+\frac{80}{9}}{2}\cdot2\cdot\frac{20\sqrt{2}}{9}=\frac{200\sqrt{2}}{9}.