12207. Дана трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
, причём BC\lt AD
, \angle ABC=90^{\circ}
. Точка M
— середина отрезка AB
. Известно, что окружность радиуса 4 проходит через точки C
и D
и касается стороны AB
в точке M
, а \cos\angle MDC=\frac{2\sqrt{2}}{3}
. Найдите CD
и AB
, а также площадь трапеции.
Ответ. CD=8
, AB=\frac{32\sqrt{2}}{9}
, S=\frac{128\sqrt{2}}{9}
.
Решение. Окружность радиуса R=4
касается прямой AB
, поэтому её центр O
лежит на перпендикуляре к AB
, восставленном в точке M
. С другой стороны, точка O
лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB
. Эти две прямые пересекаются в середине CD
. Значит, O
— середина CD
, и CD
— диаметр окружности. Следовательно, CD=2R=8
.
Обозначим \angle MDC=\varphi
(\cos\varphi=\frac{2\sqrt{2}}{3},~\sin\varphi=\frac{1}{3},~\ctg\varphi=2\sqrt{2}).
Из теоремы об угле между касательной и хордой следует,что \angle CMB=\varphi
. Точка M
лежит на окружности с диаметром CD
, поэтому \angle CMD=90^{\circ}
. Тогда
\angle ADM=90^{\circ}-\angle AMD=90^{\circ}-(180^{\circ}-\angle BMC-\angle CMD)=
=90^{\circ}-(180^{\circ}-\varphi-90^{\circ})=\varphi.
Значит, прямоугольные треугольники DMA
, MCB
и DCM
подобны.
Из прямоугольных треугольников DCM
и MCB
находим, что
CM=CD\sin\varphi=8\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{3},~BC=CM\sin\varphi=\frac{8}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{9}.
Тогда
AM=BM=BC\ctg\varphi=\frac{8}{9}\cdot2\sqrt{2}=\frac{16\sqrt{2}}{9},
и из прямоугольного треугольника DMA
находим, что
AD=AM\ctg\varphi=\frac{16\sqrt{2}}{9}\cdot2\sqrt{2}=\frac{64}{9}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AB=\frac{\frac{8}{9}+\frac{64}{9}}{2}\cdot2\cdot\frac{16\sqrt{2}}{9}=\frac{128\sqrt{2}}{9}.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2013, билет 6, задача 5