12210. Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные AC
и BD
. Их точки касания с меньшей окружностью — A
и B
, с большей окружностью — C
и D
. Найдите радиусы окружностей, если известно, что AB=\frac{24}{5}
, AC=12
.
Ответ. r=3
, R=12
.
Решение. Пусть O
— центр меньшей окружности, r
— её радиус, Q
— центр большей окружности, R
— её радиус, H
— точка пересечения прямых OQ
и AB
(H
— середина AB
), E
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O
на QC
.
Тогда ACEO
— прямоугольник, поэтому (см. задачу 365) OE=AC=2\sqrt{rR}
или 12=2\sqrt{rR}
, откуда rR=36
. Прямоугольные треугольники OEQ
и AHO
подобны, так как \angle AOH=\angle OQE
, поэтому \frac{AH}{OA}=\frac{OE}{OQ}
, или \frac{12}{5r}=\frac{12}{r+R}
, откуда R=4r
, а так как rR=36
, то 4r^{2}=36
. Следовательно, r=3
и R=4r=12
.
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2012, вариант Ш, задача 4