12218. Точка P
расположена на стороне AB
квадрата ABCD
, причём AP:PB=1:3
. Точка Q
лежит на стороне BC
квадрата и делит её в отношении BQ:QC=3:2
. Прямые DP
и AQ
пересекаются в точке E
. Найдите отношение PE:ED
.
Ответ. 3:20
.
Решение. Пусть AB=60t
. Тогда
AP=\frac{1}{4}AB=15t.
Продолжим отрезок AQ
до пересечения с прямой CD
в точке M
. Треугольник MCQ
подобен ABQ
с коэффициентом \frac{CQ}{QB}=\frac{2}{3}
, поэтому
MC=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot60t=40t,~DM=CD+CM=60t+40t=100t.
Треугольник AEP
подобен MED
, следовательно,
\frac{EP}{ED}=\frac{AP}{DM}=\frac{15t}{100t}=\frac{3}{20}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 7 класс, вариант 1, задача 5