12219. Точка P
расположена на стороне AB
квадрата ABCD
, причём AP:PB=2:3
. Точка Q
лежит на стороне BC
квадрата и делит её в отношении BQ:QC=3:1
. Прямые DP
и AQ
пересекаются в точке E
. Найдите отношение AE:EQ
.
Ответ. 4:9
.
Решение. Пусть AB=12t
. Тогда
QB=\frac{3}{4}BC=\frac{3}{4}AB=9t.
Продолжим отрезок DP
до пересечения с прямой BC
в точке M
. Треугольник BPM
подобен APD
с коэффициентом \frac{BP}{AP}=\frac{3}{2}
, поэтому
BM=\frac{3}{2}AD=\frac{3}{2}\cdot12t=18t,~QM=QB+BM=9t+18t=27t.
Треугольник AED
подобен QEM
, следовательно,
\frac{AE}{EQ}=\frac{AD}{QM}=\frac{12t}{27t}=\frac{4}{9}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 7 класс, вариант 2, задача 5