12222. На основании AC
равнобедренного треугольника ABC
построена как на диаметре окружность, пересекающая сторону BC
в точке N
, причём BN:NC=3:2
. Найдите отношение отрезков AN
и AC
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Точка N
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому AN\perp BC
, т. е. AN
— высота треугольника ABC
. Пусть BN=3t
, NC=2t
. Тогда AB=BC=5t
. По теореме Пифагора
AN=\sqrt{AB^{2}-BN^{2}}=\sqrt{25t^{2}-9t^{2}}=4t,
AC=\sqrt{AN^{2}+NC^{2}}=\sqrt{16t^{2}+4t^{2}}=2t\sqrt{5}.
Следовательно,
\frac{AN}{AC}=\frac{4t}{2t\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.