12224. На основании AC
равнобедренного треугольника ABC
построена как на диаметре окружность, пересекающая сторону BC
в точке N
, причём BN:NC=5:2
. Найдите отношение медиан NO
и BO
треугольников ANC
и ABC
.
Ответ. \frac{1}{\sqrt{6}}
.
Решение. Точка N
лежит на окружности с диаметром AC
, поэтому AN\perp BC
, т. е. AN
— высота треугольника ABC
. Пусть BN=5t
, NC=2t
. Тогда AB=BC=7t
. По теореме Пифагора
AN=\sqrt{AB^{2}-BN^{2}}=\sqrt{49t^{2}-25t^{2}}=2t\sqrt{6},
AC=\sqrt{AN^{2}+NC^{2}}=\sqrt{24t^{2}+4t^{2}}=2t\sqrt{7}.
Медиана BO
равнобедренного треугольника ABC
является его высотой, поэтому
BO=\sqrt{AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt{49t^{2}-7t^{2}}=t\sqrt{42}.
Точка O
— центр окружности, о которой говорится в условии задачи, поэтому NO=\frac{1}{2}AC=t\sqrt{7}
. Следовательно,
\frac{NO}{BO}=\frac{t\sqrt{7}}{t\sqrt{42}}=\frac{1}{\sqrt{6}}.