12231. Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке G
. Первая окружность имеет радиус 4 и касается двух параллельных прямых. Вторая окружность имеет центр в точке O
, касается одной из этих прямых, а общая касательная окружностей, проходящая через точку G
, пересекает другую прямую в точке A
. Прямая AO
перпендикулярна параллельным прямым. Найдите радиус второй окружности.
Ответ. 2.
Решение. Пусть Q
— центр первой окружности, E
и B
— точки касания общей касательной с первой и второй окружностями соответственно, F
— точка касания прямой, параллельной BE
, с первой окружностью.
Обозначим через r
искомый радиус первой окружности. Все углы четырёхугольника ABEF
прямые, значит, это прямоугольник. Тогда (см. задачу 365),
AG=AF=BE=2\sqrt{QG\cdot OG}=2\sqrt{4r}=4\sqrt{r}.
В прямоугольном треугольнике AGO
с прямым углом при вершине G
известно, что
AG=4\sqrt{r},~OG=r,~AO=AB-OB=8-r.
По теореме Пифагора
AG^{2}+OG^{2}=AO^{2},~\mbox{или}~16r+r^{2}=(8-r)^{2},
откуда r=2
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2019, осень, отборочный тур, 9 класс, вариант 1, задача 5