12238. Около четырёхугольника ABCD
можно описать окружность. Стороны AB
и AD
равны. На стороне CD
расположена точка Q
, причём DQ=1
, а на стороне BC
— точка P
, причём BP=2
. При этом \angle DAB=2\angle QAP
. Найдите PQ
.
Ответ. 3.
Решение. Обозначим \angle DAQ=\alpha
, \angle BAP=\beta
. От луча AQ
в полуплоскость, содержащую точку B
, отложим луч AL
под углом \angle QAL=\alpha
. Тогда
\angle PAL=\angle DAB-\beta-2\alpha=2\angle PAQ-\beta-2\alpha=
=2(\alpha+\angle PAL)-\beta-2\alpha=2\angle PAL-\beta,
откуда \angle PAL=\beta
.
На луче AL
отложим отрезок AK=AB=AD
. Треугольник APK
равен треугольнику APB
, а треугольник AQK
— треугольнику AQD
(по двум сторонам и углы между ними). Значит,
PK=BP=2,~QK=DQ=1,
\angle AKP=\angle ABP=\angle ABC~\mbox{и}~\angle AKQ=\angle ADQ=\angle ADC,
а так как четырёхугольник ABCD
вписанный, то \angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}
. Значит,
\angle AKP+\angle AKQ=180^{\circ},
и точка K
лежит на отрезке PQ
. Следовательно,
PQ=PK+QK=2+1=3.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2021, март, заключительный тур, 11 класс, комплект 4, вариант, задача 6