12245. На стороне AC
треугольника ABC
расположена точка D
так, что AD:AC=1:4
, при этом 2BD+BC=3AB
. Вписанная в треугольник ABC
окружность с центром в точке O
пересекает отрезок BD
в точках M
и N
. Найдите угол MON
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Пусть S
— площадь треугольника ABC
, p
— полупериметр, r
— радиус вписанной окружности, BC=a
, AC=b
, AB=c
, \angle MON=\alpha
, а расстояние от точки O
до прямой BD=h
. Тогда
S=pr=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr,~S_{\triangle BCD}=\frac{3}{4}S=\frac{3}{8}ar+\frac{3}{8}br+\frac{3}{8}cr.
С другой стороны,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}br+\frac{1}{2}BD\cdot h=\frac{1}{2}ar+\frac{3}{8}br+\frac{1}{2}BD\cdot h.
Значит,
\frac{3}{8}ar+\frac{3}{8}br+\frac{3}{8}cr=\frac{1}{2}ar+\frac{3}{8}br+\frac{1}{2}BD\cdot h,
\frac{1}{2}BD\cdot h=\frac{3}{8}cr-\frac{1}{8}ar,~\frac{1}{2}BD\cdot h=\frac{1}{8}r(3c-a),~
а так как по условию 3c-a=2BD
, то \frac{1}{2}h=\frac{1}{4}r
, откуда \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{h}{r}=\frac{1}{2}
. Следовательно, \frac{\alpha}{2}=60^{\circ}
, а
\angle MON=\alpha=120^{\circ}.