12260. На сторонах AB
и AC
остроугольного треугольника ABC
вовне построены два равных прямоугольника AMNB
и APQC
. Найдите расстояние между вершинами N
и Q
прямоугольников, если стороны AB
и AC
равны 3 и 4 соответственно, а угол при вершине A
треугольника равен 30^{\circ}
.
Ответ. 5\sqrt{3}
.
Решение. По теореме Пифагора находим, что диагонали прямоугольников равны 5. Прямоугольные треугольники ACQ
и AMN
равны по двум катетам, поэтому \angle CAQ=\angle MAN
. Значит,
\angle QAN=\angle CAQ+\angle BAC+\angle BAN=\angle CAQ+30^{\circ}+\angle BAN=
=\angle MAN+\angle BAN+30^{\circ}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}.
Следовательно, по теореме косинусов
NQ=\sqrt{AN^{2}+AQ^{2}-2AN\cdot AQ\cos120^{\circ}}=\sqrt{25+25+2\cdot5\cdot5\cdot\frac{1}{2}}=5\sqrt{3}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2020, март, заключительный тур, 11 класс, комплект 1, вариант 1, задача 6