12268. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
расположены точки M
и N
, причём AM=CN=\sqrt{3}
. Точка P
— середина отрезка MN
, точка Q
— середина стороны AC
. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Первый способ. Поскольку |\overrightarrow{PQ}|=PQ
, |\overrightarrow{MA}|=MA
, |\overrightarrow{NC}|=NC
, а \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NC})
(см. задачу 4504), то
PQ^{2}=\overrightarrow{PQ}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NC})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MA}^{2}+\overrightarrow{NC}^{2}+2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA})=
=\frac{1}{4}(MA^{2}+NC^{2}+2MA\cdot NC\cos\angle ABC)=\frac{1}{4}(3+3+2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2})=\frac{9}{4}.
Следовательно, PQ=\frac{3}{2}
.
Второй способ. Дополнительные построения:
1) построим параллелограммы NCQE
и MAQF
;
2) построим треугольник EFQ
;
3) построим четырёхугольник EMFN
.
Четырёхугольник EMFN
— параллелограмм, поскольку EN
параллельна AC
и ей же параллельна MF
, при этом EN=MF=\frac{1}{2}AC
. Отрезок MN
— диагональ параллелограмма, а её середина, точка P
, принадлежит второй диагонали EF
.
Треугольник EQF
равнобедренный, FQ=EQ=\sqrt{3}
, поэтому его медиана QP
является медианой и высотой. Угол MQF
равен углу ABC
как углы с сонаправленными сторонами. Тогда треугольник EPQ
прямоугольный с гипотенузой QF=\sqrt{3}
и острым углом 30^{\circ}
при вершине Q
. Следовательно,
PQ=QF\cos30^{\circ}=\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2018-2019, отборочный тур, 11 класс, комп. 3, вариант 1, задача 6