12268. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
расположены точки M
и N
, причём AM=CN=\sqrt{3}
. Точка P
— середина отрезка MN
, точка Q
— середина стороны AC
. Угол при вершине B
треугольника ABC
равен 60^{\circ}
. Найдите PQ
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Решение. Поскольку |\overrightarrow{PQ}|=PQ
, |\overrightarrow{MA}|=MA
, |\overrightarrow{NC}|=NC
, а \overrightarrow{PQ}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NC})
(см. задачу 4504), то
PQ^{2}=\overrightarrow{PQ}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{NC})^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{MA}^{2}+\overrightarrow{NC}^{2}+2\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MA})=
=\frac{1}{4}(MA^{2}+NC^{2}+2MA\cdot NC\cos\angle ABC)=\frac{1}{4}(3+3+2\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2})=\frac{9}{4}.
Следовательно, PQ=\frac{3}{2}
.
Источник: Олимпиада «Росатом». — 2018, осень, отборочный тур, 11 класс, комплект 3, вариант 1, задача 6