12272. Прямоугольник ABCD
таков, что AD=2AB
. Точка M
— середина стороны AD
. Внутри прямоугольника нашлась такая точка K
, что \angle AMK=80^{\circ}
и луч KD
— биссектриса угла MKC
. Сколько градусов составляет угол KDA
?
Ответ. 35.
Решение. Докажем, что четырёхугольник KMDC
вписанный.
Первый способ. Рассмотрим треугольник MKC
и его описанную окружность. Заметим, что точка D
лежит на биссектрисе угла MKC
, а также равноудалена от вершин M
и C
. Биссектриса угла неравнобедренного треугольника и серединный перпендикуляр к его противоположной стороне пересекаются в середине меньшей дуги описанной окружности треугольника (см. задачу 1743). Другими словами, D
— середина дуги MC
описанной окружности треугольника MKC
, не содержащей точку K
. Надо также заметить, что MK\ne KC
, иначе треугольники KMD
и KCD
оказались бы равны, но
\angle KMD=100^{\circ}\gt90^{\circ}=\angle BCD\gt\angle KCD.
Второй способ. Воспользуемся четвёртым признаком равенства треугольников: если у двух треугольников равны две стороны и угол не между ними, то эти треугольники либо равны, либо сумма других двух углов не между ними равна 180^{\circ}
(см. задачу 10280). Четвёртый признак выполняется для треугольников MDK
и CDK
(MD=DC
, DK
— общая сторона, \angle MKD=\angle CKD
). При этом углы KMD
и KCD
не равны (опять же, первый — тупой, а второй — острый), поэтому их сумма равна 180^{\circ}
, а это и есть противоположные углы четырёхугольника KMDC
. Следовательно, он вписанный.
Перейдём к нашей задаче. Воспользовавшись тем, что во вписанном четырёхугольнике KMDC
сумма противоположных углов равна 180^{\circ}
, получим
\angle MKD=\frac{1}{2}\angle MKC=\frac{180^{\circ}-\angle MDC}{2}=45^{\circ}.
Угол AMK
как внешний для треугольника KMD
равен сумме углов MKD
и KDA
, следовательно,
\angle KDA=80^{\circ}-45^{\circ}=35^{\circ}.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, школьный этап (дистанционно), Москва, № 8, 10 класс