12277. Равнобедренная трапеция ABCD
с основаниями BC
и AD
такова, что \angle ADC=2\angle CAD=82^{\circ}
. Внутри трапеции выбрана такая точка T
, что CT=CD
, AT=TD
. Найдите угол TCD
. Ответ дайте в градусах
Ответ. 38^{\circ}
.
Решение. Обозначим за a
длину боковой стороны трапеции. Точка T
равноудалена от концов отрезка AD
, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к AD
, т. е. на оси симметрии трапеции. Из симметрии получаем, что BT=CT=a
.
Поскольку
\angle BAD=\angle CDA=2\angle CAD,
луч AC
— биссектриса угла BAD
, а так как из параллельности \angle CAD=\angle ACB
, то треугольник ABC
равнобедренный, BC=AB=a
, а треугольник BTC
равносторонний. Следовательно,
\angle TCD=\angle BCD-\angle BCT=(180^{\circ}-\angle ADC)-60^{\circ}=120^{\circ}-\angle ADC=38^{\circ}.