12281. На стороне AB
остроугольного треугольника ABC
отмечена точка D
, а на продолжении стороны BC
за точку C
— точка E
. Оказалось, что прямая, проходящая через точку E
, касается окружности, описанной около треугольника ADC
. Докажите, что одна из касательных, проведённых из точки E
к описанной окружности треугольника BCD
, отсекает от угла ABE
треугольник, подобный треугольнику ABC
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку E
параллельно AB
, пересекает прямую AC
в точке X
. Из подобия треугольников CEX
и CBA
получаем, что \frac{EC}{CB}=\frac{XC}{CA}
.
Обозначим \angle BDC=\alpha
. Тогда не содержащая точки D
дуга окружности \omega_{B}
, описанной около треугольника BCD
, равна 2\alpha
, а не содержащая точки D
дуга окружности \omega_{A}
, описанной около треугольника ACD
, равна 2(180^{\circ}-\alpha)
. Значит, дуга ADC
этой окружности равна 360^{\circ}-2(180^{\circ}-\alpha)=2\alpha
.
Учитывая полученную ранее пропорцию, получаем, что фигура, состоящая из трёх точек E
, C
, B
и окружности \omega_{B}
подобна фигуре, состоящей из точек X
, C
, A
и окружности \omega_{A}
.
Пусть луч EY
первой фигуры соответствует лучу XE
второй. Поскольку прямая XE
касается касается окружности \omega_{A}
, луч EY
касается окружности \omega_{B}
. Кроме того,
\angle EYB=\angle EXA=\angle BAC.
Следовательно, луч EY
отсекает от угла ABE
треугольник, подобный треугольнику ABC
по двум углам.
Автор: Кузнецов А. С.
Автор: Берлов С. Л.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2020-2021, XLVII, Тюмень, заключительный этап, первый день, № 4, 9 класс