12289. Сумма боковых сторон AB
и CD
трапеции ABCD
равна её большему основанию AD
.
а) Докажите, что на большем основании есть точка, равноудалённая от прямых AB
, BC
и CD
.
б) Найдите основание BC
, если AB=3
, CD=5
, AD=8
, а \angle BAD=90^{\circ}
.
Ответ. 4.
Решение. а) Пусть биссектриса угла ABC
пересекает основание AD
в точке O
. Тогда точка O
равноудалена от прямых AB
и BC
. Кроме того,
\angle AOB=\angle CBO=\angle ABO,
поэтому треугольник ABO
равнобедренный, AO=AB
, а
OD=AD-AO=AD-AB=CD.
Углы при основании CO
равнобедренного треугольника COD
равны, поэтому
\angle BCO=\angle COD=\angle DCO.
Значит, CO
— биссектриса угла BCD
, поэтому точка O
равноудалена от прямых BC
и CD
. Следовательно, точка O
равноудалена от прямых AB
, BC
и CD
.
б) Пусть CH
— высота трапеции. Тогда CH=AB=3
. Из прямоугольного треугольника CHD
находим, что
DH=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25-9}=4.
Следовательно,
BC=AH=AD-DH=8-4=4.