12301. Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне CD
прямоугольной трапеции ABCD
, касается большей боковой стороны AB
в точке L
. Высота BH
трапеции пересекает отрезок DL
в точке P
.
а) Докажите, что отрезок BP
равен радиусу окружности.
б) Найдите BD
, если радиус окружности равен 1, а AL=2
.
Ответ. \frac{\sqrt{17}}{2}
.
Решение. а) Пусть O
— центр данной окружности радиуса r
. Обозначим \angle BAD=\alpha
. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому
\angle ABO=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha).
С другой стороны, так как AL=AD
, то треугольник ALD
равнобедренный, поэтому
\angle ALD=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=\angle ABO.
Тогда LD\parallel BO
, а так как прямые BH
и CD
перпендикулярны одной и той же прямой AD
, то BP\parallel OD
. Значит, BPDO
— параллелограмм. Следовательно, BP=OD=r
.
б) Четырёхугольник BCDH
— прямоугольник, поэтому DH=BC
. Поскольку BO
и AO
— биссектрисы углов ABC
и BAD
, сумма которых равна 180^{\circ}
, то \angle AOB=90^{\circ}
.
Отрезок OL=r=1
— высота прямоугольного треугольника AOB
, проведённая из вершины прямого угла, значит,
BL=\frac{OL^{2}}{AL}=\frac{1}{2}.
В прямоугольном треугольнике BDH
известно, что DH=BC=BL=\frac{1}{2}
и BH=2
. Следовательно,
BD=\sqrt{BH^{2}+DH^{2}}=\sqrt{CD^{2}+BC^{2}}=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}.