12303. Точка O
— центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC
(AC\gt AB
), I
— центр окружности, вписанной в этот треугольник. Пусть луч AI
пересекает описанную окружность в точке A_{1}
.
а) Докажите, что угол OA_{1}I
равен сумме углов OBI
и OCI
.
б) Найдите расстояние между точками O
и I
, если OI\parallel BC
, \cos\angle BAC=\frac{1}{3}
, а радиус описанной окружности равен \sqrt{3}
.
Ответ. 1.
Решение. а) Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
треугольника ABC
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Против большей стороны треугольника лежит больший угол, поэтому \beta\gt\gamma
.
Центр вписанной окружности треугольника — точка пересечения его биссектрис, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Значит, AA_{1}
— биссектриса вписанного угла BAC
, A_{1}
— середина дуги BA_{1}C
описанной окружности, а прямая OA_{1}
— серединный перпендикуляр к стороне BC
.
Пусть AH
— высота треугольника ABC
. Тогда
\angle HAA_{1}=\angle BAA_{1}-\angle BAH=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta-\gamma)-(90^{\circ}-\beta)=\frac{\beta-\gamma}{2}.
Прямые AH
и OA_{1}
параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой BC
, поэтому
\angle OA_{1}I=\angle HAA_{1}=\frac{\beta-\gamma}{2}.
Центральный угол BOC
вдвое больше вписанного угла BAC
, а треугольник BOC
равнобедренный, поэтому
\angle OBI=\angle CBI-\angle CBO=\frac{\beta}{2}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha+\frac{\beta}{2}-90^{\circ},
\angle OCI=\angle BCO-\angle BCI=(90^{\circ}-\alpha)-\frac{\gamma}{2}=90^{\circ}-\alpha-\frac{\gamma}{2}.
Следовательно,
\angle OBI+\angle OCI=\alpha+\frac{\beta}{2}-90^{\circ}+90^{\circ}-\alpha-\frac{\gamma}{2}=\frac{\beta-\gamma}{2}=\angle OA_{1}I.
б) По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BIA_{1}=\angle A_{1}AC+\angle ABI=\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}.
С другой стороны, вписанные углы CBA_{1}
и CAA_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle IBA_{1}=\angle IBC+\angle CBA_{1}=\frac{\beta}{2}+\frac{\alpha}{2}=\angle BIA_{1}.
Значит, треугольник A_{1}BI
равнобедренный, A_{1}I=A_{1}B
.
Поскольку OI\parallel BC
и BC\perp OA_{1}
, треугольник IOA_{1}
прямоугольный с прямым углом при вершине O
. Следовательно,
OI=\sqrt{A_{1}I^{2}-A_{1}O^{2}}=\sqrt{A_{1}B^{2}-A_{1}O^{2}}=
=\sqrt{\left(2R\sin\frac{\alpha}{2}\right)^{2}-R^{2}}=R\sqrt{4\sin^{2}\frac{\alpha}{2}-1}=
=R\sqrt{2-2\cos\alpha-1}=\sqrt{3}\sqrt{1-2\cdot\frac{1}{3}}=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=1.