12304. Первая окружность проходит через вершины A
и B
треугольника ABC
и пересекает стороны AC
и BC
в точках D
и E
соответственно. Вторая окружность проходит через точки D
и E
и пересекает продолжения сторон AC
и BC
за вершину C
в точках N
и M
соответственно.
а) Докажите, что MN\parallel AB
.
б) Прямые MD
и NE
вторично пересекают первую окружность в точках X
и Y
соответственно. Найдите её радиус, если AX=XY=2
, а AB=4
.
Ответ. 2.
Решение. а) Вписанные во вторую окружность углы EDN
и EMN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Четырёхугольник ABED
вписанный, поэтому
\angle ABE=180^{\circ}-\angle ADE=\angle EDN=\angle EMN.
Следовательно, MN\parallel AB
.
б) Вписанные во вторую окружность углы MDN
и MEN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Значит,
\angle XDA=\angle MDN=\angle MEN=\angle BEY.
Вписанные в первую окружность равные углы XDA
и BEY
опираются на равные хорды, поэтому BY=AX=XY=2
, а так как \angle BAY=\angle AYX
, то AXYB
— равнобедренная трапеция с основаниями AB=4
и XY=2
.
Пусть R
— радиус первой окружности, XH
— высота трапеции AXYB
. Тогда
AH=\frac{AB-XY}{2}=\frac{4-2}{2}=1,~BH=4-1=3,
Из прямоугольных треугольников AXH
и BXH
находим, что
XH=\sqrt{3},~\angle XAB=\angle XAH=60^{\circ},~BX=\sqrt{BH^{2}+XH^{2}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}.
Окружность искомого радиуса R
описана около треугольника ABX
, следовательно, по теореме синусов
R=\frac{BX}{2\sin\angle XAB}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=2.