12306. Точка H
— середина отрезка AB
. На отрезке AB
отмечена точка P
. При этом AP=\frac{1}{4}AB
. Окружности с диаметрами AH
и PB
пересекаются в точках M
и N
. Луч AM
пересекает окружность с диаметром PB
в точке K
, а окружность с диаметром AB
— в точке L
. Луч BL
пересекает окружность с диаметром PB
в точке T
.
а) Докажите, что отрезок LT
в три раза меньше отрезка TB
.
б) Найдите KL
, если AB=8\sqrt{6}
.
Ответ. 4.
Решение. а) Положим AP=PH=2a
, AB=8a
. Тогда BP=8a-2a=6a
.
Точка L
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому AL\perp BL
. Аналогично PT\perp BT
, поэтому PT\perp BL
. Значит, PT\parallel AL
. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
LT:TB=AP:PB=2a:6a=1:3.
Что и требовалось доказать.
б) Положим AM=4x
и по-прежнему AP=PH=2a
, AB=8a
. Пусть Q
— середина BP
. Тогда
BP=6a,~PQ=QB=3a,~HQ=PQ-PH=3a-2a=a.
Точка M
лежит на окружности с диаметром AH
, поэтому HM\perp AM
. Значит, HM\parallel BL
и AM=ML
.
Пусть C
— проекция точки Q
на прямую AK
. Тогда C
— середина хорды MK
окружности с диаметром PB
, а также QC\parallel HM\parallel BL
, поэтому
CM:AM=HQ:AH=a:4a=1:4,~CK=CM=\frac{1}{4}AM=x.
Кроме того, CL:AC=QB:AQ=3a:5a=3:5
, поэтому
CL=\frac{3}{5}AC=\frac{3}{5}(AM+MC)=\frac{3}{5}(4x+x)=3x.
Значит,
KL=CL-CK=3x-x=2x.
Выражая из прямоугольных треугольников KCQ
и ACQ
квадрат общего катета CQ
, получим, что
9a^{2}-x^{2}=25a^{2}-25x^{2},
откуда x=\frac{a\sqrt{6}}{3}
. Следовательно,
KL=2x=\frac{2a\sqrt{6}}{3}=\frac{2\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}}{3}=4.