12309. Окружность S
с центром O
проходит через вершину A
ромба ABCD
, пересекает его сторону AB
в точке E
, касается диагонали BD
, а также касается продолжений сторон BC
и CD
. Прямые EO
и CD
пересекаются в точке F
.
а) Докажите, что расстояние от точки O
до стороны AB
в четыре раза меньше высоты ромба.
б) Найдите общую хорду окружности S
и окружности, описанной около треугольника COF
, если радиус окружности S
равен 9\sqrt{5}
.
Ответ. 40.
Решение. а) Пусть H
— центр ромба ABCD
, P
— проекция точки O
на сторону AB
, DQ
— высота ромба. Точка E
лежит на окружности S
, а AH
— диаметр этой окружности (точка O
на биссектрисе угла BCD
), поэтому HE\perp AB
. Значит, OP\parallel HE
, а так как O
— середина AH
, то OP
— средняя линия прямоугольного треугольника AEH
. Кроме того HE
— средняя линия треугольника BDQ
. Следовательно,
OP=\frac{1}{2}HE=\frac{1}{4}DQ.
Что и требовалось доказать.
б) Поскольку OA=OE
(как радиусы окружности S
), треугольник AOE
равнобедренный. Значит, подобный ему треугольник COF
также равнобедренный. Пусть прямая CD
касается окружности S
в точке K
, а радиус окружности S
равен R
. Тогда
OF=OC=OH+CH=OH+AH=R+2R=3R.
Обозначим \angle ACD=\alpha
. Из прямоугольного треугольника COK
находим, что
\sin\alpha=\frac{OK}{OC}=\frac{R}{3R}=\frac{1}{3}.
Пусть R_{1}
— радиус окружности с центром O_{1}
, описанной около треугольника COF
. По теореме синусов
R_{1}=\frac{OF}{2\sin\angle OCF}=\frac{3R}{2\sin\alpha}=\frac{3R}{2\cdot\frac{1}{3}}=\frac{9}{2}R.
Пусть MN
— искомая общая хорда окружности S
и описанной окружности треугольника COF
. Тогда MN
вдвое больше высоты MT
равнобедренного треугольника OO_{1}M
со сторонами \frac{9}{2}R
, \frac{9}{2}R
и R
, опущенной на боковую сторону. Пусть O_{1}L
— высота этого треугольника, опущенная на основание. Тогда
O_{1}L=\sqrt{O_{1}M^{2}-\frac{1}{4}OM^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}R^{2}-\frac{1}{4}R^{2}}=2R\sqrt{5}.
Следовательно,
MN=2MT=2\cdot\frac{OM\cdot O_{1}L}{OO_{1}}=2\cdot\frac{R\cdot2R\sqrt{5}}{\frac{9}{2}R}=\frac{8R\sqrt{5}}{9}=\frac{8\cdot9\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}{9}=40.