1231. Меньшее основание равнобедренной трапеции равно боковой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите углы трапеции.
Ответ. 60^{\circ}
, 60^{\circ}
, 120^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Указание. Докажите, что диагональ является биссектрисой угла при большем основании трапеции.
Решение. Пусть AD
— большее основание трапеции ABCD
, AB=BC=CD
и \angle ACD=90^{\circ}
. Обозначим \angle ADC=\alpha
. Тогда
\angle CAD=90^{\circ}-\alpha.
Поскольку треугольник ABC
равнобедренный, то
\angle BAC=\angle BCA=\angle CAD=90^{\circ}-\alpha,
а так как \angle BAD=\angle CDA=\alpha
, то
90^{\circ}-\alpha+90^{\circ}-\alpha=\alpha.
Отсюда находим, что 3\alpha=180^{\circ}
. Следовательно, \alpha=60^{\circ}
.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 57, с. 80