12312. На сторонах BC
, AC
и AB
треугольника ABC
отмечены точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
соответственно, причём BA_{1}:A_{1}C=1:1
, CB_{1}:B_{1}A=2:1
, AC_{1}:C_{1}B=3:2
. Отрезки BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке D
.
а) Докажите, что AB_{1}A_{1}D
— параллелограмм.
б) Найдите CC_{1}
, если известно, что AD\perp BC
, а AC=15
и BC=12
.
Ответ. \frac{6\sqrt{97}}{5}
.
Решение. а) Через точку B
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть эта прямая пересекается с продолжением отрезка CC_{1}
в точке K
. Из подобия треугольников BC_{1}K
и AC_{1}C
получаем, что
BK=\frac{BC_{1}}{C_{1}A}\cdot AC=\frac{2}{3}AC=CB_{1}.
Значит, треугольники BDK
и B_{1}DC
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Тогда D
— середина стороны BB_{1}
треугольника BCB_{1}
, а так как A_{1}
— середина стороны BC
, то DA_{1}
— средняя линия этого треугольника. Значит,
DA_{1}=\frac{1}{2}CB_{1}=AB_{1}~\mbox{и}~DA_{1}\parallel AB_{1}.
Следовательно, AB_{1}A_{1}D
— параллелограмм.
б) Пусть прямая AD
пересекает BC
в точке P
, а F
— проекция точки K
на прямую BC
. Четырёхугольник AB_{1}A_{1}D
— параллелограмм, поэтому B_{1}A_{1}\parallel AP
, а так как AP\perp BC
, то A_{1}B_{1}\perp BC
. В прямоугольном треугольнике A_{1}B_{1}C
известны катет CA_{1}=\frac{1}{2}BC=6
и гипотенуза CB_{1}=\frac{2}{3}AC=10
, значит, A_{1}B_{1}=8
. Кроме того, DP
— общая средняя линия треугольников BB_{1}A_{1}
и CKF
, поэтому KF=2DP=A_{1}B_{1}=8
.
По теореме о пропорциональных отрезках \frac{PA_{1}}{A_{1}C}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C}=\frac{1}{2}
, поэтому
PA_{1}=\frac{1}{2}A_{1}C=3,~PC=PA_{1}+A_{1}C=3+6=9,~CF=2CP=18.
Значит,
CK=\sqrt{KF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{8^{2}+18^{2}}=2\sqrt{97}.
Треугольник AC_{1}C
подобен треугольнику BC_{1}K
с коэффициентом \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{3}{2}
, следовательно,
CC_{1}=\frac{3}{5}CK=\frac{6\sqrt{97}}{5}.