1232. Внутри произвольного угла взята точка M
. С помощью циркуля и линейки проведите через точку M
прямую так, чтобы её отрезок, заключённый между сторонами угла, делился бы точкой M
пополам.
Указание. Примените теорему о средней линии треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть A
— вершина данного угла. Проведём через точку M
прямую, параллельную одной из сторон угла. Пусть K
— точка пересечения этой прямой с другой стороной угла.
На продолжении отрезка AK
за точку K
отложим отрезок KB
, равный AK
. Тогда BM
— искомая прямая, поскольку KM
— средняя линия получившегося треугольника.
Второй способ. Пусть XAY
— данный угол, P
— точка на продолжении отрезка AM
за точку M
такая, что MP=AM
.
Через точку P
проведём прямую, параллельную стороне AX
данного угла. Пусть B
— точка её пересечения со стороной AY
, а C
— точка пересечения прямой BM
со стороной AX
.
Тогда BC
— искомая прямая, так как треугольник PMB
равен треугольнику AMC
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Третий способ. Пусть l_{1}
и l_{2}
— стороны данного угла, m_{1}
и m_{2}
— их образы при симметрии относительно данной точки M
, B
— точка пересечения l_{1}
и m_{2}
, C
— точка пересечения l_{2}
и m_{1}
. Тогда прямая BC
— искомая.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 60, с. 24
Источник: Яглом И. М. Геометрические преобразования. — Т. 1: Движения и преобразования подобия. — М.: ГИТТЛ, 1955. — № 8, с. 26
Источник: Делоне Б. Н., Житомирский О. К. Задачник по геометрии. — М.—Л.: ОГИЗ, 1949. — № 114, с. 15
Источник: Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. — М.: Наука, 1975. — № 282, с. 33