12321. На продолжении стороны AC
за вершину A
треугольника ABC
отложен отрезок AD
, равный стороне AB
. Прямая, проходящая через точку A
параллельно BD
, пересекает сторону BC
в точке M
.
а) Докажите, что AM
— биссектриса угла BAC
.
б) Найдите площадь трапеции AMBD
, если площадь треугольника ABC
равна 54 и известно отношение AC:AB=5:4
.
Ответ. 67,2.
Решение. а) Обозначим \angle BAC=\alpha
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABD+\angle ADB=\alpha.
Треугольник ABD
равнобедренный, поэтому
\angle ADB=\angle ABD=\frac{\alpha}{2},
а так как AM\parallel BD
, то
\angle MAC=\angle BDC=\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}\angle BAC.
Следовательно, AM
— биссектриса угла BAC
.
б) По свойству биссектрисы треугольника
\frac{CM}{MB}=\frac{AC}{CB}=\frac{5}{4},
значит,
\frac{S_{\triangle ACM}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CM}{CB}\frac{5}{9},~S_{\triangle ACM}=\frac{5}{9}S_{\triangle ABC}=\frac{5}{9}\cdot54=30.
Треугольник DCB
подобен треугольнику ACM
с коэффициентом \frac{CB}{CM}=\frac{9}{5}
, поэтому
S_{\triangle DCB}=\left(\frac{9}{5}\right)^{2}S_{\triangle ACM}=\frac{81}{25}\cdot30=97{,}2.
Следовательно,
S_{AMBD}=S_{\triangle DCB}-S_{\triangle ACM}=97{,}2-30=67{,}2.