12325. В параллелограмме
ABCD
расположены две равные непересекающиеся окружности. Первая касается сторон
AD
,
AB
и
BC
, а вторая — сторон
AD
,
CD
и
BC
.
а) Докажите, что общая внутренняя касательная
l
окружностей проходит через центр параллелограмма.
б) Пусть
ABCD
— прямоугольник, а прямая
l
касается окружностей в точках
M
и
N
. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках
M
,
N
и в центрах окружностей, если
AD=16
, а расстояние между центрами окружностей равно
10
.
Ответ.
24
.
Решение. а) Пусть
O
— точка пересечения диагонали
AC
параллелограмма с общей внутренней касательной
l
к данным окружностям (рис. 1),
P
и
Q
точки пересечения прямой
l
со сторонами
AD
и
BC
соответственно. Достаточно доказать что
O
— середина диагонали
AC
.
Пусть
O_{1}
и
O_{2}
— центры первой и второй окружностей, первая окружность касается стороны
AD
в точке
K
, вторая окружность касается стороны
BC
в точке
L
. Лучи
AO_{1}
и
CO_{2}
— биссектрисы равных углов
BAD
и
BCD
, значит, прямоугольные треугольники
AKO_{1}
и
CLO_{2}
равны по катету (радиусы равных окружностей) и противолежащему острому углу. Тогда
AK=CL
. Аналогично,
KP=LQ
. Следовательно,
AP=AK+KP=CL+LQ=CQ.

Значит, треугольники
AOP
и
COQ
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам, поэтому
AO=OC
, а
O
— середина диагонали
AC
, т. е. центр параллелограмма
ABCD
.
б) Поскольку
ABCD
прямоугольник (рис. 2), его сторона
AD
равна сумме диаметра окружности и отрезка
O_{1}O_{2}
, т. е.
2r+O_{1}O_{2}=AD
, или
2r+10=16
, откуда
r=3
.
Четырёхугольник
O_{1}MO_{2}N
— параллелограмм, так как его противоположные стороны
O_{1}M
и
O_{2}N
равны и параллельны. Диагонали
O_{1}O_{2}
и
MN
параллелограмма
O_{1}MO_{2}N
пересекаются в точке
O
и делятся ею пополам Площадь параллелограмма
O_{1}MO_{2}N
в четыре раза больше площади прямоугольного треугольника
OO_{1}M
, в котором
OO_{1}=\frac{1}{2}O_{1}O_{2}=5,~O_{1}M=r=3.

По теореме Пифагора
OM=\sqrt{OO_{1}^{2}-O_{1}M^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4.

Следовательно,
S_{O_{1}MO_{2}N}=4S_{\triangle OO_{1}M}=4\cdot\frac{1}{2}OM\cdot O_{1}M=2\cdot4\cdot3=24.



Источник: Диагностические и тренировочные задачи ЕГЭ. — 2021