12335. В окружности с центром O
проведены хорды AB
и CD
. Прямые AB
и CD
перпендикулярны и пересекаются в точке M
, лежащей вне окружности. При этом AM=36
, BM=6
, CD=4\sqrt{46}
. Найдите OM
.
Ответ. 29.
Решение. Опустим перпендикуляры OK
и OL
из центра окружности на хорды AB
и CD
соответственно. Тогда K
и L
— середины этих хорд (см. задачу 1676), поэтому
BK=\frac{1}{2}(AM-BM)=\frac{1}{2}(36-6)=15,~CL=\frac{1}{2}CD=2\sqrt{46},
а так как OKML
— прямоугольник, то
OL=KM=BK+BM=15+21.
Пусть R
— радиус окружности. Из прямоугольных треугольников CLO
, BKO
и MKO
находим, что
R^{2}=OC^{2}=CL^{2}+OL^{2}=4\cdot46+21^{2}=184+441=625,
OK^{2}=OB^{2}-BK^{2}=R^{2}-BK^{2}=625-15^{2}=625-225=400,
OM=\sqrt{OK^{2}+KM^{2}}=\sqrt{400+21^{2}}=\sqrt{400+441}=\sqrt{841}=29.