12336. Внутри треугольника ABC
с углом 60^{\circ}
при вершине B
выбрали точку T
, для которой \angle ATB=\angle CTB=120^{\circ}
; A_{0}
и C_{0}
—середины сторон AB
и BC
соответственно. Докажите, что точки A_{0}
, T
, C_{0}
и B
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle ABT=\alpha
. Тогда
\angle CBT=\angle ABC-\angle ABT=60^{\circ}-\alpha,
\angle BCT=180^{\circ}-120^{\circ}-(60^{\circ}-\alpha)=\alpha=\angle ABT.
Значит, треугольники ABT
и BCT
подобны по двум углам. При этом подобии медиана TA_{0}
треугольника ABT
соответствует медиане TC_{0}
треугольника BCT
, а угол BA_{0}T
равен углу CC_{0}T
. Значит,
\angle BA_{0}T+\angle BC_{0}T=\angle BA_{0}T+(180^{\circ}-\angle CC_{0}T)=180^{\circ}.
Четырёхугольник BA_{0}TC_{0}
вписанный, следовательно, точки A_{0}
, T
, C_{0}
и B
лежат на одной окружности.
Примечание. См. статью Д.Швецова «Подобие с медианами», Квант, 2021, N7, с.42-47.