1234. Докажите, что середины двух противоположных сторон любого четырёхугольника и середины его диагоналей либо лежат на одной прямой, либо являются вершинами параллелограмма.
Указание. Примените свойство средней линии треугольника.
Решение. Пусть L
и K
— середины сторон AD
и BC
четырёхугольника ABCD
, в котором нет параллельных сторон, M
и N
— середины его диагоналей AC
и BD
. Тогда LM
— средняя линия треугольника CAD
, а NK
— средняя линия треугольника CBD
. Поэтому LM=\frac{1}{2}CD=KN
и LM\parallel CD\parallel KN
. Значит, противоположные стороны ML
и KN
четырёхугольника MLNK
равны и параллельны. Следовательно, этот четырёхугольник — параллелограмм.