12342. На боковой стороне CD
трапеции ABCD
с основаниями BC
и AD
отмечена точка M
. Точка H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины D
на прямую BM
. Оказалось, что DH=AD
. Найдите AD
, если BC=16
, CM=8
, MD=9
.
Ответ. 18.
Решение. Первый способ. Пусть DF
— высота равнобедренного треугольника ADH
. Тогда F
— середина отрезка AH
. Прямые BM
и DF
перпендикулярны одной и той же прямой AH
, поэтому BM\parallel DF
.
Пусть прямая, проведённая через вершину C
перпендикулярно BM
, пересекает прямые BM
и DF
в точках P
и S
соответственно. По теореме о пропорциональных отрезках
CP:PF=CM:MD=8:9.
Положим CP=8x
, PS=9x
. Четырёхугольник FHPS
— прямоугольник, а F
— середина отрезка AH
, поэтому
AF=FH=PS=9x.
Прямоугольные треугольники DFA
и BPC
подобны, так как \angle ADF=\angle CBP
, причём коэффициент подобия равен
\frac{AF}{CP}=\frac{9x}{8x}=\frac{9}{8}.
Следовательно,
AD=\frac{9}{8}BC=\frac{9}{8}\cdot16=18.
Второй способ. Пусть DF
— высота равнобедренного треугольника ADH
. Тогда F
— середина отрезка AH
. Прямые BM
и DF
перпендикулярны одной и той же прямой AH
, поэтому BM\parallel DF
.
Продолжим отрезки DF
и CB
до пересечения в точке N
. Опустим перпендикуляр BK
на прямую DN
. Тогда BK=HF=AF
, а так как \angle BNK=\angle ADF
, то прямоугольные треугольники BKN
и AFD
равны по катету и противолежащему углу. Значит, BN=AD
.
Треугольник DCN
подобен треугольнику MCB
с коэффициентом CD:CM=17:8
. Значит,
CN=\frac{17}{8}BC=\frac{17}{8}\cdot16=34.
Следовательно,
AD=BN=CN-BC=34-16=18.