12343. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, параллельные сторонам. Эти прямые разбивают треугольник на шесть частей, три из которых — треугольники. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны r_{1}
, r_{2}
, r_{3}
. Найдите радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.
Ответ. r_{1}+r_{2}+r_{3}
.
Указание. Каждый из получившихся трёх треугольников подобен данному. Найдите коэффициенты подобия.
Решение. Каждый из получившихся треугольников подобен данному с коэффициентом соответственно \frac{r_{1}}{r}
, \frac{r_{2}}{r}
, \frac{r_{3}}{r}
, где r
— искомый радиус исходного треугольника ABC
.
Обозначим стороны этих треугольников, параллельные стороне BC
треугольника ABC
, через a
, b
и c
соответственно. Тогда
a+b+c=BC,
\frac{r_{1}}{r}=\frac{a}{BC},~\frac{r_{2}}{r}=\frac{b}{BC},~\frac{r_{3}}{r}=\frac{c}{BC}.
Сложив почленно последние три равенства, получим:
\frac{r_{1}+r_{2}+r_{3}}{r}=\frac{a+b+c}{BC}=1.
Отсюда находим, что
r=r_{1}+r_{2}+r_{3}.