12344. Дана окружность \Gamma
с центром I
. Выпуклый четырёхугольник ABCD
таков, что каждый из отрезков AB
, BC
, CD
и DA
касается \Gamma
. Пусть \Omega
— описанная окружность треугольника AIC
. Продолжение отрезка BA
за точку A
пересекает \Omega
в точке X
, продолжение отрезка BC
за точку C
пересекает \Omega
в точке Z
. Продолжения отрезков AD
и CD
за точку D
пересекают \Omega
в точках Y
и T
соответственно. Докажите, что
AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
Решение. (Решение М.Исупова.) Пусть K
, L
, M
, N
— точки касания отрезков соответственно AB
, BC
, CD
, DA
с окружностью \Gamma
, J
— точка, диаметрально противоположная точке I
на окружности \Omega
. Заметим, что точка I
лежит на биссектрисе угла BAD
.
Точка A
лежит на окружности с диаметром IJ
, поэтому \angle IAJ=90^{\circ}
, а так как луч AI
— биссектриса угла BAD
, то луч AJ
— биссектриса смежного с ним угла XAY
. Значит, I
и J
— середины дуг XY
, поэтому точки X
и Y
симметричны относительно прямой IJ
— линии центров пересекающихся окружностей \Gamma
и \Omega
. Аналогично, точки Z
и T
симметричны относительно прямой IJ
. Отсюда TX=ZY
.
Далее, из симметрии относительно IJ
вытекает также, что отрезки касательных от T
и Z
до \Gamma
равны. Аналогично для X
и Y
. Осталось лишь заметить, что
AN=AK,~DN=DM,~MC=CL.
Тогда
DT+AD+XA=DT+(AN+ND)+XA=
=DT+(AK+MD)+XA=(DT+MD)+(AK+XA)=TM+KX,
TM=ZL,~XK=YN
(по доказанному длины отрезков касательных равны). Аналогично преобразуем
DT+AD+XA=ZL+YN=ZC+CL+YD+DN=
=ZC+CM+MD+DY=ZC+CD+DY.
Сложив равенства
DT+AD+XA=ZC+CD+DY~\mbox{и}~TX=YZ,
получим требуемое равенство
AD+DT+TX+XA=CD+DY+YZ+ZC.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 2021, LXII, задача 4 (Польша)
Источник: Журнал «Квант». — 2021, № 8, с. 37, задача 4