12345. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
нашлась точка P
, для которой выполняются равенства
\angle PAD:\angle PBA:\angle DPA=1:2:3=\angle CBP:\angle BAP:\angle BPC.
Докажите, что следующие три прямые пересекаются в одной точке: биссектрисы углов ADP
и PCB
и серединный перпендикуляр к отрезку AB
.
Решение. Положим \varphi=\angle PAD
и \psi=\angle CBP
. Тогда
\angle PBA=2\varphi,~\angle DPA=3\varphi,~\angle BPC=3\psi.
Пусть X
— точка на отрезке AD
, для которой что \angle XPA=\varphi
. Тогда
\angle PXD=\angle PAX+\angle XPA=2\varphi=\angle DPA-\angle XPA=\angle DPX.
Получаем, что треугольник DPX
равнобедренный с боковыми сторонами DX=DP
, поэтому прямая, содержащая биссектрису угла ADP
, — серединный перпендикуляр к отрезку XP
. Аналогично, если Y
— точка на отрезке BC
, для которой \angle BPY=\psi
, то прямая, содержащая биссектрису угла PCB
— серединный перпендикуляр к отрезку PY
. Итак, нам требуется доказать, что серединные перпендикуляры к отрезкам XP
, PY
и AB
пересекаются в одной точке.
Заметим, что
\angle AXP=180^{\circ}-\angle PXD=180^{\circ}-2\varphi=180^{\circ}-\angle PBA.
Значит, четырёхугольник AXPB
вписанный, поэтому точка X
лежит на описанной окружности треугольника APB
. Аналогично, точка Y
лежит на описанной окружности треугольника APB
. Следовательно, серединные перпендикуляры к отрезкам XP
, PY
и AB
проходят через центр окружности, описанной около пятиугольника ABYPX
. Этим завершается доказательство.